OPERASI UNER DAN BINER DALAM LOGIKA MATEMATIKA

A. Operasi Uner
Pernyataan ada yang berbentuk pernyataan tunggal dan pernyataan majaemuk. Pernyataan tunggal adalah pernyataan yang tidak memuat pernyataan lain sebagai bagiannya.

Pernyataan majemuk merupakan pernyataan yang diperoleh dari gabungan beberapa pernyataan tunggal. Sedangkan tiap pernyataan bagian dari pernyataan majemuk itu disebut komponen-komponen pernyataan majemuk. Komponen-komponen dari pernyataan majemuk itu tidak harus pernyataan tunggal, tetapi mungkin saja pernyataan majemuk. Untuk menggabungkan pernyataan-pernyataan tunggal menjadi pernyataan meajemuk dapat dipakai kata hubung atau kata perangkai yang disebut operasi-operasi logika matematika, baik operasi uner maupun biner.

Dalam logika matematika terdapat operasi uner, yaitu berupa operasi negasi, atau yang disebut pula penyangkalan (ingkaran). Operasi negasi merupakan operasi yang hanya berkenaan dengan satu unsur, yaitu pernyataanlah sebagai unsurnya. Nilai kebenaran negasi sebuah pernyataan adalah kebalikan dari nilai kebenaran yang dimiliki oleh pernyataannya. Dengan demikian jika sebuah pernyataan mempunyai nilai kebenaran B (benar), maka negasinya adalah S nilai kebenarannya, dan begitu sebaliknya.

Contoh 1:

p : 5 + 5 = 25
Negasinya ditulis :
- p : 5 + 5 ≠ 25 atau
- p : Tidak benar bahwa 5 + 5 = 25
Karena ( p ) = S, kita peroleh ~ ( - p ) = B

Contoh 2 :

q : 5 > 1
Negasinya ditulis
– q : 5 ≤ 3 atau
- q : Tidak benar bahwa 5 > 1 atau
Karena  ( q ) = B, kita peroleh  ( - q ) = S

Contoh 3 :

r : Bilangan prima adalah bilangan ganjil.
Negasinya ditulis
r : Tidak benar bahwa bilangan prima adalah bilangan ganjil, atau : Karena τ (r) = S, kita peroleh maka τ (-r) = B

Dari beberapa contoh di atas, tampak bahwa sebuah pernyataan dan ingkarannya mempunai nilai kebenaran saling berlawanan.

B. Operasi Biner

Satu atau lebih proposisi dapat dikombinasikan untuk menghasilkan proposisi baru lewat penggunaan operator logika. Proposisi baru yang dihasilkan dari kombinasi tersebut disebut dengan proposisi majemuk (compound composition), sedangkan proposisi yang bukan merupakan hasil dari kombinasi proposisi lain disebut proposisi atomik. Proposisi majemuk tersusun dari sejumlah proposisi atomik.

Dalam logika dikenal 5 buah penghubung

Simbol	Arti	Bentuk
¬	Tidak/Not/Negasi	Tidak………….
∧	Dan/And/Konjungsi	……..dan……..
V	Atau/Or/Disjungsi	………atau…….
→	Implikasi	Jika…….maka…….
↔	Bi-Implikasi	……..bila dan hanya bila……..

Contoh 4 :

p menyatakan kalimat “ Mawar adalah nama bunga”
q menyatakan kalimat “ Apel adalah nama buah”
Maka kalimat “ Mawar adalah nama bunga dan Apel adalah nama buah “
Dinyatakan dengan simbol p ∧ q

Contoh  5 :

p: hari ini hari minggu
q: hari ini libur
nyatakan kalimat dibawah ini dengan simbol logika :
a. Hari ini bukan hari minggu tetapi libur
b. Hari ini bukan hari minggu dan tidak libur
c. Tidak benar bahwa hari ini hari minggu dan libur

Penyelesaian

a. Kata “tetapi” mempunyai arti yang sama dengan dan sehingga kalimat (a) bisa ditulis sebagai : ¬p ∧ q
b. ¬p ∧¬q
c. ¬(p ∧ q)

KONJUNGSI

Konjungsi adalah suatu pernyataan majemuk yang menggunakan penghubung “DAN/AND” dengan notasi “∧”
Contoh 6 :

p: Fahmi makan nasi
Q:Fahmi minum kopi
Maka p ∧ q : Fahmi makan nasi dan minum kopi

Pada konjungsi p ∧ q akan bernilai benar jika baik p maupun q bernilai benar. Jika salah satunya (atau keduanya) bernilai salah maka p ∧ q  bernilai salah.


DISJUNGSI

Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan penghubung “ATAU/OR” dengan notasi “V”.
Kalimat disjungsi dapat mempunyai 2 arti yaitu :
Inklusif
Yaitu jika “p benar atau q benar atau keduanya benar”
Contoh 7 :

p : 7 adalah bilangan prima
q : 7 adalah bilangan ganjil
p V q : 7 adalah bilangan prima atau ganjil

Benar bahwa 7 bisa dikatakan bilangan prima sekaligus bilangan ganjil.

Eksklusif
Yaitu jika “p benar atau q benar tetapi tidak keduanya”.
Contoh 8 :

p : Saya akan melihat pertandingan bola di TV.
q : Saya akan melihat pertandingan bola di lapangan.
p V q : Saya akan melihat pertandingan bola di TV atau lapangan.

Hanya salah satu dari 2 kalimat penyusunnya yang boleh bernilai benar yaitu jika “Saya akan melihat pertandingan sepak bola di TV saja atau di lapangan saja tetapi tidak keduanya.


IMPLIKASI

Misalkan ada 2 pernyataan p dan q, untuk menunjukkan atau membuktikan bahwa jika p bernilai benar akan menjadikan q bernilai benar juga, diletakkan kata “JIKA” sebelum pernyataan pertama lalu diletakkan kata “MAKA” sebelum pernyataan kedua sehingga didapatkan suatu pernyataan majemuk yang disebut dengan “IMPLIKASI/PERNYATAAN BERSYARAT/KONDISIONAL/ HYPOTHETICAL dengan notasi “→”.
Notasi p → q dapat dibaca :

1. Jika p maka q
2. q jika p
3. p adalah syarat cukup untuk q
4. q adalah syarat perlu untuk p

Contoh 9 :

p : Pak Ali adalah seorang haji.
q : Pak Ali adalah seorang muslim.
p → q : Jika Pak Ali adalah seorang haji maka pastilah dia seorang muslim.

Contoh 10 :
p : Hari hujan.
q : Adi membawa payung.
Benar atau salahkah pernyataan berikut?

1. Hari benar-benar hujan dan Adi benar-benar membawa payung.
2. Hari benar-benar hujan tetapi Adi tidak membawa payung.
3. Hari tidak hujan tetapi Adi membawa payung.
4. Hari tidak hujan dan Adi tidak membawa payung.

BIIMPLIKASI
Biimplikasi atau bikondosional adalah pernyataan majemuk dari dua pernyataan p dan q yang dinyatakan dengan notasi “p ↔ q” yang bernilai sama dengan (p → q) ∧ (q → p) sehingga dapat dibaca “ p jika dan hanya jika q” atau “p bila dan hanya bila q”. Biimplikasi 2 pernytaan hanya akan bernilai benar jika implikasi kedua kalimat penyusunnya sama-sama bernilaii benar.
Contoh 11 :

p : Dua garis saling berpotongan adalah tegak lurus.
q : Dua garis saling membentuk sudut 90 derajat.
p ↔ q : Dua garis saling berpotongan adalah tegak lurus jika dan hanya jika dan hanya jika dua garis saling membentuk sudut 90 derajat.

TABEL KEBENARAN

p	q	¬p	¬q	p V q	p ∧ q	p → q	p ↔ q
T	T	F	F	T	T	F	T
T	F	F	T	T	F	T	F
F	T	T	F	T	F	T	T
F	F	T	T	F	F	F	T

Untuk menghindari perbedaan konotasi dan keganjilan arti dalam menerjemahkan simbol-simbol logika maka dalam matematika tidak disyaratkan adanya hubungan antara kedua kalimat penyusunnya. Kebenaran suatu kalimat berimplikasi semata-mata hanya tegantung pada nilai kebenaran kaliamat penyusunnya. Karena itu digunakan tabel kebenaran penghubung. Jika p dan q adalah kalimat-kalimat dimana T=true/benar dan F=false/salah, maka untuk n variable (p,q,…) maka tabel kebenaran memuat 2n baris.

Artikel Terkait:

Posted by Dede Salim nahdi

On 04.48

No comments