OPERASI UNER DAN BINER DALAM LOGIKA MATEMATIKA

A. Operasi Uner
Pernyataan ada yang berbentuk pernyataan tunggal dan pernyataan majaemuk. Pernyataan tunggal adalah pernyataan yang tidak memuat pernyataan lain sebagai bagiannya.

Pernyataan majemuk merupakan pernyataan yang diperoleh dari gabungan beberapa pernyataan tunggal. Sedangkan tiap pernyataan bagian dari pernyataan majemuk itu disebut komponen-komponen pernyataan majemuk. Komponen-komponen dari pernyataan majemuk itu tidak harus pernyataan tunggal, tetapi mungkin saja pernyataan majemuk. Untuk menggabungkan pernyataan-pernyataan tunggal menjadi pernyataan meajemuk dapat dipakai kata hubung atau kata perangkai yang disebut operasi-operasi logika matematika, baik operasi uner maupun biner.

Dalam logika matematika terdapat operasi uner, yaitu berupa operasi negasi, atau yang disebut pula penyangkalan (ingkaran). Operasi negasi merupakan operasi yang hanya berkenaan dengan satu unsur, yaitu pernyataanlah sebagai unsurnya. Nilai kebenaran negasi sebuah pernyataan adalah kebalikan dari nilai kebenaran yang dimiliki oleh pernyataannya. Dengan demikian jika sebuah pernyataan mempunyai nilai kebenaran B (benar), maka negasinya adalah S nilai kebenarannya, dan begitu sebaliknya.

Contoh 1:

p : 5 + 5 = 25
Negasinya ditulis :
- p : 5 + 5 ≠ 25 atau
- p : Tidak benar bahwa 5 + 5 = 25
Karena ( p ) = S, kita peroleh ~ ( - p ) = B

Contoh 2 :

q : 5 > 1
Negasinya ditulis
– q : 5 ≤ 3 atau
- q : Tidak benar bahwa 5 > 1 atau
Karena  ( q ) = B, kita peroleh  ( - q ) = S

Contoh 3 :

r : Bilangan prima adalah bilangan ganjil.
Negasinya ditulis
r : Tidak benar bahwa bilangan prima adalah bilangan ganjil, atau : Karena τ (r) = S, kita peroleh maka τ (-r) = B

Dari beberapa contoh di atas, tampak bahwa sebuah pernyataan dan ingkarannya mempunai nilai kebenaran saling berlawanan.

B. Operasi Biner

Satu atau lebih proposisi dapat dikombinasikan untuk menghasilkan proposisi baru lewat penggunaan operator logika. Proposisi baru yang dihasilkan dari kombinasi tersebut disebut dengan proposisi majemuk (compound composition), sedangkan proposisi yang bukan merupakan hasil dari kombinasi proposisi lain disebut proposisi atomik. Proposisi majemuk tersusun dari sejumlah proposisi atomik.

Dalam logika dikenal 5 buah penghubung

Simbol	Arti	Bentuk
¬	Tidak/Not/Negasi	Tidak………….
∧	Dan/And/Konjungsi	……..dan……..
V	Atau/Or/Disjungsi	………atau…….
→	Implikasi	Jika…….maka…….
↔	Bi-Implikasi	……..bila dan hanya bila……..

Contoh 4 :

p menyatakan kalimat “ Mawar adalah nama bunga”
q menyatakan kalimat “ Apel adalah nama buah”
Maka kalimat “ Mawar adalah nama bunga dan Apel adalah nama buah “
Dinyatakan dengan simbol p ∧ q

Contoh  5 :

p: hari ini hari minggu
q: hari ini libur
nyatakan kalimat dibawah ini dengan simbol logika :
a. Hari ini bukan hari minggu tetapi libur
b. Hari ini bukan hari minggu dan tidak libur
c. Tidak benar bahwa hari ini hari minggu dan libur

Penyelesaian

a. Kata “tetapi” mempunyai arti yang sama dengan dan sehingga kalimat (a) bisa ditulis sebagai : ¬p ∧ q
b. ¬p ∧¬q
c. ¬(p ∧ q)

KONJUNGSI

Konjungsi adalah suatu pernyataan majemuk yang menggunakan penghubung “DAN/AND” dengan notasi “∧”
Contoh 6 :

p: Fahmi makan nasi
Q:Fahmi minum kopi
Maka p ∧ q : Fahmi makan nasi dan minum kopi

Pada konjungsi p ∧ q akan bernilai benar jika baik p maupun q bernilai benar. Jika salah satunya (atau keduanya) bernilai salah maka p ∧ q  bernilai salah.


DISJUNGSI

Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan penghubung “ATAU/OR” dengan notasi “V”.
Kalimat disjungsi dapat mempunyai 2 arti yaitu :
Inklusif
Yaitu jika “p benar atau q benar atau keduanya benar”
Contoh 7 :

p : 7 adalah bilangan prima
q : 7 adalah bilangan ganjil
p V q : 7 adalah bilangan prima atau ganjil

Benar bahwa 7 bisa dikatakan bilangan prima sekaligus bilangan ganjil.

Eksklusif
Yaitu jika “p benar atau q benar tetapi tidak keduanya”.
Contoh 8 :

p : Saya akan melihat pertandingan bola di TV.
q : Saya akan melihat pertandingan bola di lapangan.
p V q : Saya akan melihat pertandingan bola di TV atau lapangan.

Hanya salah satu dari 2 kalimat penyusunnya yang boleh bernilai benar yaitu jika “Saya akan melihat pertandingan sepak bola di TV saja atau di lapangan saja tetapi tidak keduanya.


IMPLIKASI

Misalkan ada 2 pernyataan p dan q, untuk menunjukkan atau membuktikan bahwa jika p bernilai benar akan menjadikan q bernilai benar juga, diletakkan kata “JIKA” sebelum pernyataan pertama lalu diletakkan kata “MAKA” sebelum pernyataan kedua sehingga didapatkan suatu pernyataan majemuk yang disebut dengan “IMPLIKASI/PERNYATAAN BERSYARAT/KONDISIONAL/ HYPOTHETICAL dengan notasi “→”.
Notasi p → q dapat dibaca :

1. Jika p maka q
2. q jika p
3. p adalah syarat cukup untuk q
4. q adalah syarat perlu untuk p

Contoh 9 :

p : Pak Ali adalah seorang haji.
q : Pak Ali adalah seorang muslim.
p → q : Jika Pak Ali adalah seorang haji maka pastilah dia seorang muslim.

Contoh 10 :
p : Hari hujan.
q : Adi membawa payung.
Benar atau salahkah pernyataan berikut?

1. Hari benar-benar hujan dan Adi benar-benar membawa payung.
2. Hari benar-benar hujan tetapi Adi tidak membawa payung.
3. Hari tidak hujan tetapi Adi membawa payung.
4. Hari tidak hujan dan Adi tidak membawa payung.

BIIMPLIKASI
Biimplikasi atau bikondosional adalah pernyataan majemuk dari dua pernyataan p dan q yang dinyatakan dengan notasi “p ↔ q” yang bernilai sama dengan (p → q) ∧ (q → p) sehingga dapat dibaca “ p jika dan hanya jika q” atau “p bila dan hanya bila q”. Biimplikasi 2 pernytaan hanya akan bernilai benar jika implikasi kedua kalimat penyusunnya sama-sama bernilaii benar.
Contoh 11 :

p : Dua garis saling berpotongan adalah tegak lurus.
q : Dua garis saling membentuk sudut 90 derajat.
p ↔ q : Dua garis saling berpotongan adalah tegak lurus jika dan hanya jika dan hanya jika dua garis saling membentuk sudut 90 derajat.

TABEL KEBENARAN

p	q	¬p	¬q	p V q	p ∧ q	p → q	p ↔ q
T	T	F	F	T	T	F	T
T	F	F	T	T	F	T	F
F	T	T	F	T	F	T	T
F	F	T	T	F	F	F	T

Untuk menghindari perbedaan konotasi dan keganjilan arti dalam menerjemahkan simbol-simbol logika maka dalam matematika tidak disyaratkan adanya hubungan antara kedua kalimat penyusunnya. Kebenaran suatu kalimat berimplikasi semata-mata hanya tegantung pada nilai kebenaran kaliamat penyusunnya. Karena itu digunakan tabel kebenaran penghubung. Jika p dan q adalah kalimat-kalimat dimana T=true/benar dan F=false/salah, maka untuk n variable (p,q,…) maka tabel kebenaran memuat 2n baris.

Posted by Dede Salim nahdi

On 04.48

No comments

KALIMAT DEKLARATIF DALAM LOGIKA MATEMATIKA

Logika merupakan ilmu yang mempelajari aturan - aturan matematika, sains, hukum, dan bidang lainnya. Logika berhubungan dengan Pernyataan. Oleh karena itu, dalam logika hanya terdapat dua kemungkinan kebenarannya, yaitu benar atau salah. 

Dalam pengoperasian komputer hanya dikenal dua kondisi analog dengan logika yaitu ada atau tidakadanya Aliran Listrik. Kondisi ini dapat diartikan dalam bahasa logika sebagai kondisi “True” atau “False”.

Masih ingatkah dengan bilangan binar? Sistem bilangan inilah yang digunakan dalam setiap instruksi pada komputer. Instruksi ini pada dasarnya merupakan serangkaian kombinasi logis. Pernyataan dan bukan pernyataan. 

Kalimat merupakan rangkaian kata - kata yang disusun sedemikian rupa sehingga memiliki arti yang utuh. 

Kalimat itu sendiri dikelompokan menjadi 2 (dua) kelompok, yaitu : Kalimat pernyataan (deklaratif) dan bukan pertanyaan.

Ada pun yang menjadi bahasan dalam logika matematika adalah kalimat Pernyataan (deklaratif). Kalimat seperti ini memiliki ciri khusus, yaitu kita dapat menentukan kalimat itu sebagai kalimat yang benar saja atau sebagai kalimat yang salah saja.

contoh :

(a) Sembilan adalah bilangan ganjil.

(b) Kucing adalah hewan yang tidak suka makan ikan

(c) Ibukota Indonesia adalah Yogyakarta

(d) Pada segitiga siku - siku berlaku kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat sisi - sisi yang lain

Kalimat-kalimat di atas merupakan kalimat pernyataan, mengapa? Karena dari kalimat-kalimat tersebut kita dapat menentukan nilai kebenarannya (benar atau salah). Bahwa (a) dan (d) merupakan kalimat - kalimat yang memiliki nilai kebenaran benar dan kalimat (b) dan (C) adalah kalimat yang nilai kebenarannya salah.


Maka dengan demikian dari penjelasan di atas, diperoleh definisi bahwa :

Pernyataan adalah kalimat yang hanya mempunyai nilai Benar atau Salah saja, tetapi tidak sekaligus kedua - keduanya.
 

Perhatian contoh berikut !

(a) x+5 = 17

(b) Jarak antara Jakarta dan Surabaya adalah dekat.

Kalimat-kalimat di atas merupakan kalimat bukan pernyataan. Pada kalimat tersebut kita tidak dapat menentukan nilai kebenarannya, apakah kalimat itu benar atau salah.

Kalimat “x + 5 = 17″ bukan kalimat pernyataan karena mengandung variabel x (unsur yang belum diketahui). Bila variabel x diganti dengan 12, maka 12 + 5 = 17 menjadi pernyataan yang benar, tetapi bila X diganti dengan selain bilangan 12 , maka kalimat tersebut menjadi salah.

Demikian pula halnya untuk kalimat “Jarak antara Jakarta dan Surabaya adalah dekat” merupakan bukan pernyataan karena "dekat" itu relatif. Jarak antara Jakarta dan Surabaya dekat apabila (misalnya) dibandingkan dengan Jarak antara Jakarta dan Lost Angeles sehingga menjadi pernyataan yang benar, tetapi bila dibandingkan dengan jarak antara Jakarta dan Bandung maka pernyataan menjadi salah.

Dari penjelasan diatas kita juga dapat defisi berikut.

Suatu kalimat merupakan bukan pernyataan jika kalimat tersebut tidak dapat ditentukan benar atau salahnya.

Beberapa kalimat yang termasuk bukan pernyataan di antaranya adalah yang berbentuk kalimat  tanya, perintah dan harapan. seperti contoh di bawah ini :

(a) Apakah anda sudah Sholat?

(b) Tolong buatkan saya kopi!

(c) Semoga tahun depan saya dapat naik haji.

Posted by Dede Salim nahdi

On 18.19

1 comment

BILANGAN PRIMA

Bilangan prima adalah dasar dari matematika, termasuk salah satu misteri alam semesta. Tidak pernah terbayangkan oleh manusia sebelumnya, sampai ditemukan bahwa bilangan prima juga merupakan dasar dari kehidupan alam, yang dengan usaha keras ingin dijelaskan oleh ilmu ini dalam sains.

Pandangan orang umumnya mengatakan bahwa matematika hanyalah penemuan manusia biasa. Sebaliknya, beberapa pemikir masa lalu - Pythagoras, Plato, Cusanus, Kepler, Leibnitz, Newton, Euler, Gauss, termasuk para revolusioner abad ke-20, Planck, Einstein dan Sommerffeld - yakin bahwa keberadaan angka dan bentuk geometris merupakan konsep alam semesta dan konsep yang bebas (independent). Galileo sendiri beranggapan bahwa matematika adalah bahasa Tuhan ketika menulis alam semesta.

Bilangan Prima dan Rencana Penciptaan

Salah satu teka-teki lama yang belum sepenuhnya terpecahkan adalah bilangan prima. Bilangan prima adalah bilang yang hanya memiliki dua faktor. Bilangan prima hanya dapat habis dibagi oleh bilangan itu sendiri dan angka 1. Angka 12 bukan merupakan bilangan prima, karena dapat habis dibagi oleh angka lainnya 2, 3, dan 4. Bilangan prima adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, .... dan seterusnya. Banyak bilangan prima tidak terhingga. Tidak peduli berapa banyak kita menghitung, pasti kita akan menemukan bilangan prima, walaupun mungkin makin jarang_ Hal ini menjadi teka-teki kita, jika kita ingat bilangan ini tidak dapat dibagi oleh angka lainnya. Salah satu hal yang menakjubkan, dalam era komputer kita memberikan kodetifikasi semua hal yang penting dan rahasia, di bank, asuransi, dan perhitungan-perhitungan peluru kendali, security system dengan enkripsi, dalam angka jutaan bilangan-bilangan yang tidak habis dibagi oleh angka lainnya. Ini diperlukan karena dengan penggunaan angka lain, kodetifikasi tadi dapat dengan mudah ditembus.

Fenomena inilah yang ditemukan ilmuwan dari Duesseldorf (Dr. Plichta), sehubungan dengan penciptaan alam, yaitu distribusi misterius bilangan prima. Para ilmuwan sudah lama percaya bahwa bilangan prima adalah bahasa universal yang dapat dimengerti oleh semua makhluk (spesies) berintelegensia tinggi, sebagai komunikasi dasar antarmereka. Bahasa ini penuh misteri karena berhubungan dengan perencanaan universal kosmos.

Bilangan lain yang perlu diketahui adalah sisa dari bilangan prima, yakni bilangan komposit, kecuali angka 1, yaitu 4, 6, 8, 9,10,12,14,15, .... dan seterusnya. Dengan kata lain, bilangan komposit adalah bilangan yang terdiri dari minimal dua faktor prima. Misalnya :

6 = 2 x 3 = 2 . 3
30 = 2 x 3 x 5 = 2 . 3 . 5
85 = 5 x 17 = 5 . 17

Selain itu, dikenal pula bilangan khusus, yang disebut prima kembar, yaitu bilangan prima yang angkanya berdekatan dengan selisih 2. Misalnya :

(3,5)
(5,7)
(11,13)
(17,19)

dan seterusnya.

Mayoritas ahli astrofisika juga percaya bahwa di alam semesta terdapat  "kode kosmos"  atau yang disebut cosmic code based on this order,  yang dikenal juga sebagai Theory of Everything (TOE), yang artinya terdapat konstanta-konstanta alam semesta yang saling berhubungan berdasarkan perintah pendesain. Sekali perintah tersebut dapat dipecahkan, maka hal ini akan membuka pandangan sains lainnya yang berhubungan.

Posted by Dede Salim nahdi

On 16.29

No comments

FAKTA-FAKTA TENTANG NILAI PHI

Phi alias 3,14 sudah tak asing. Hampir setiap orang pernah memakainya, setidaknya semasa sekolah untuk menghitung luas lingkaran atau volume bola.

Meski demikian, tak banyak yang tahu tentang Phi, proses penemuannya hingga misteri yang sampai sekarang belum terpecahkan. Banyak yang cuma menggunakan atau menghafalkannya, tanpa memaknai.

Rabu (14/3/2012) adalah waktu yang tepat untuk mengenal Phi. 14 Maret selalu diperingati sebagai Phi Day. Tanggal ini diphilih sebab dalam format penulisan bulan/tanggal (3/14) tepat merepresentasikan Phi.

Phi telah dikenal selama 4000 tahun. Phi merepresentasikan hubungan antara keliling dan diameter lingkaran. Meski demikian, belum diketahui siapa yang sebenarnya menemukan Phi.

Angka Phi yang dikenal saat ini, 3,14, adalah pembulatan. Sebenarnya, angka Phi adalah 3,141592653.... Ujung Phi, alias angka desimal dari Phi belum ditemukan.

Perlombaan menemukan Phi yang seakurat mungkin alias sebanyak-banyaknya angka di belakang koma dalam Phi adalah salah satu yang menarik untuk diamati.

Masyarakat Babilonia yang melakukan penghitungan menyebutkan bahwa angka Phi adalah sedikit lebih besar dari 3. Besarnya kira-kira 3 1/8 atau 3,125.

Sementara, matematikawan Mesir melakukan penghitungan lagi dan menemukan bahwa Phi adalah 3,16049. Kedua angka tersebut tentu saja belum akurat.

Matematikawan Yunani, Archimedes of Syracrus (287-212 SM), mulai mendekati keakuratan. Dengan menggunakan poligon, ia menyatakan bahwa Phi adalah 3,1485.

Di belahan timur, matematikawan Cina Zhu Chongzhi (429-500 M), semakin mendekati keakuratan. Ia menyatakan dalam pecahan bahwa Phi adalah 355/113 atau 3,1415929.

Kemajuan pencarian Phi mulai terjadi abad 15 dan 17. Matematikawan India (Madhava) dan Jerman (Gottfried Leibniz) menemukan seri Madhava-Leibniz. Phi dinyatakan hingga 11 angka di belakang koma.

Tahun 1707, mulailah diperkenalkan lambang Phi dalam aksara Yunani. William Jones, matematikawan dari Welsh, adalah yang mengenalkannya. Meski demikian, lambang itu baru dipopulerkan oleh Leonhard Euler pada 1737.

Hingga sebelum era komputer, perhitungan Phi yang paling akurat adalah yang dilakukan D.F Ferguson. ia berhasil menghitung nilai Phi hingga 620 angka di belakang koma.

Pada era selanjutnya, kemajuan besar diperoleh. Tahun 1947, perhitungan dengan kalkulator membuahkan hasil nilai Phi hingga 710 angka di belakang koma.

Sementara itu, Takahashi Kanada pada tahun 1999 berhasil menghitung hingga 206.158.430.000 angka di belakang koma dengan Hitachi SR800. Tim Universitas Tokyo berhasil menghitung hingga 1.241.100.000.000 angka di belakang koma.

Rekor terbaru dipegang oleh oleh Shigeru Kondo dan Alexander Yee yang dengan superkomputernya berhasil menghitung Phi hingga 5 triliun angka di belakang koma.

Kondo dan Yee membutuhkan waktu 90 hari untuk menghitung Phi hingga 5 triliun angka di belakang koma. Sebanyak 20 hard disk eksternal dibutuhkan. Verfikasi membutuhkan waktu 68 jam.

Hingga kini, ujung dari Phi belum ditemukan. Bahkan, Phi mungkin tak memiliki ujung. Satu per satu rekor penghitungan Phi akan terkalahkan seiring waktu.

Sementara Phi masih digemari dan berbagai kalangan, kini dikenal Tau. Nilai Tau adalah 2 kali Phi, alias sekitar 6,28. Bilangan ini mulai dikenalkan sejak tahun 2001 dan mulai mendapat banyak dukungan.

Tau dianggap memiliki kelebihan dibanding Phi. Salah satunya, Tau dianggap lebih mudah dipahami dibanding Phi sehingga membantu awam dalam memahaminya.

Entah Phi atau Tau yang diphilih, peringatan Hari Phi bisa menjadi kesempatan bagi siapa pun, terutama oranguta dan pendidik, untuk mengenalkan matematika.

Ada banyak cara untuk merayakannya. Massachusets Institute of Technology, misalnya, mengirimkan surat keputusan pada calon mahasiswa pada Phi Day pukul 6.28 waktu setempat. Ini semacam kompromi antara Tau dan Phi.

Di Indonesia, beragam kegiatan sederhana bisa dilakukan. Permainan yang membantu mengkomunikasikan konsep Phi bisa dilakukan di kelas atau di rumah.

Posted by Dede Salim nahdi

On 05.49

No comments

PENALARAN INDUKTIF DAN DEDUKTIF DALAM PEMBELAJARAN MATEMATIKA

Ada dua tipe penalaran dalam matematika, yaitu penalaran deduktif  dan Penalaran Induktif. Penalaran deduktif biasanya digunakan dalam pembuktian suatu teorema atau dalil. Pembuktian suatu teorema pada dasarnya adalah penurunan teorema tersebut dari definisi, aksioma atau teorema  yang telah dibuktikan menurut suatu penalaran yang logis untuk menurunkan atau membuktikan suatu teorema dikatakan sebagai penaranan deduktif.

Suatu pernyataan disebut teorema jika pernyataan itu telah dibuktikan kebenarannya secara deduktif. sutau pernyataan yang ingin dibuktikan (dengan/hipotesis) bisa muncul dari intuisi atau dari susunan data percobaan. Menyusun data sedemikian hingga dapat ditarik suatu kesimpulan yang berlaku umum, biasanya disebut penalaran induktif. Kesimpulan yang diperoleh dengan cara ini baru disebut teorema dugaan. Teorema dugaan ini masih perlu dibuktikan secara deduktif agar menjadi suatu teorema.

Meskipun penalaran deduktif merupakan suatu penalaran yang absah dan sangat penting dalam matematika, tetapi dalam tulisan ini tidak dibicarakan secara meluas. Berikut contoh-contoh dalam penalaran induktif untuk memperoleh generalisasi (yang sebenarnya masih perlu dibuktikan secara deduktif).

Matematika dapat dipandang dari suatu segi sebagai suatu bidang study yang menekankan pada kreatifitas. Sedangkan untuk mengembangkan daya kreatifitas diperlukan beberapa aspek pemikiran diantaranya adalah penalaran. Salah satu ciri utama matematika terletak pada penalarannya. Untuk dapat memahami penalaran perhatikan contoh berikut ini.

Contoh 1.1 Buatlah segitiga lancip dan ukurlah besar tiap-tiap sudutnya dengan busur derajat. Berapa derajatkah besar ketiga sudutnya? Buatlah pula segitiga siku-siku dan segitiga tumpul. Berapa derajatkah jumlah ketiga sudut dari tiap-tiap segitiga tersebut?

Apakah Anda memperoleh bahwa jumlah besar ketiga sudut dari tiap-tiap segitiga itu 180 derajat? Jika tidak, ulangi kembali mengukur besar sudut tipa-tiap segitiga yang Anda buat. Apakah yang dapat Anda simpulkan dari kejadian-kejadian itu? Apakah kesimpulan Anda sebagai berikut?

Jumlah besar ketiga sudut dalam suatu segitiga adalah 180 derajat.

Pada contoh 1.1 ini, Anda membuat tiga buah segitiga dan mengukur besar sudut tiap-tiap segitiga dengan busur derajat. Dan Anda memperoleh bahwa jumlah ketiga sudut dalam masing-masing segitiga yang Anda buat adalah 180 derajat. Dari tiga contoh segitiga yang Anda buat itu ditarik kesimpulan bahwa jumlah besar ketiga sudut dalam segitiga adalah 180 derajat. Penarikan kesimpulan dari contoh-contoh seperti ini menggunakan penalaran induktif.

Contoh lain dari penalaran induktif dalam matematika adalah sebagai berikut:

Contoh 1.2


Berapakah hasil penjumlahan berikut ini?
1 + 3 + 5 + 7 + ... + 199.
untuk menjawab pertanyaan tersebut dibuta pola sebagai berikut!

Banyak suku                           Penjumlaha                                 Hasil
1                                              1                                                 1 = ... pangkat 2
2                                              1 + 3                                           4 = 2 pangkat ...
3                                              1 + 3 + 5                                     9 = ... pangkat 2
4                                              1 + 3 + 5 + 7                              16 = 4 pangkat ...
5                                              1 + 3 + 5 + 7 + 9                        25 = ... pangkat 2
6                                              1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11                36 = 6 pangkat ...
dst.
100                                          1 + 3 + 5 + 7 + ... + 199            ... = ... pangkat 2

Lengkapilah titik-titik pada kolom hasil dari  pola tersebut. Anda akan memperoleh bahwa:
1 + 3 + 5 + 7 + ... + 199 = 100 pangkat 2 = 10.000

Pada soal tersebut 199 merupakan bilangan ganjil ke -100.

Berapakah bilangan ganjil ke-n?
Berapakah jumlah n bilangan ganjil pertama, yaitu:
1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n pangkat 2.

Posted by Dede Salim nahdi

On 15.48

1 comment

MATEMATIKA : RUMIT ATAU MENARIK?

Matematika. Sebuah momok yang begitu menakutkan bagi sebagian orang. Kenapa demikian? Apakah Rumit? Atau Membingungkan?

Mungkin itulah yang dijadikan alasan orang-orang untuk membenci matematika. Alasan yang bahkan diturunkan kepada anak cucu mereka. Hanya segelintir orang saja yang menganggap matematika tidak menyeramkan. Jadi, benarkah matematika bagaikan monster yang menyeramkan? Matematika begitu indah. Indah bagaikan bidadari tercantik di dunia.

Permasalahannya adalah bagaimana kita menyikapi dan menghadapi matematika tersebut? Mari ungkap rahasia keunikan dan keindahan matematika.

Matematika berperan sebagai pelayan ilmu (servant of science), sebagai ratu ilmu (queen of science) dan sebagai bahasa ilmu pengetahuan (language of science).  Peran matematika ini sangatlah penting dalam menghidupkan ilmu-ilmu lainnya dan bahkan bisa disebut bahwa matematika adalah suatu ilmu dasar (basic  sciences). Oleh karenanya matematika dipandang mempunyai peran yang sangat penting dalam berbagai bidang disiplin ilmu. Maematika juga memiliki pola yang sangat unik. Contohnya saja perkalian 9 yang apabila angka hasilnya dijumlahkan akan tetap menghasilkan angka 9.

10 x 9 = 90
2 x 9 = 18
3 x 9 = 27
4 x 9 = 36
5 x 9 = 45
6 x 9 = 54
7 x 9 = 63
8 x 9 = 72
9 x 9 = 81

Keunikan dari Perkalian 37, yang apabila ditambah beberapa variasi dalam penjumlahan dan perkaliannya, maka hasilnya akan unik.

3 x 37 = 111
6 x 37 = 222
9 x 37 = 333
12 x 37= 444
15 x 37 = 555
18 x 37 = 666
21 x 37 = 777
24 x 37 = 888
27 x 37 = 999

Keunikan dari Perkalian satu satu,

1 x 1 = 1

11 x 11 = 121

111 x 111 = 12321

1111 x 1111 = 1234321

11111 x 11111 = 123454321

111111 x 111111 = 12345654321

1111111 x 1111111 = 1234567654321

11111111 x 11111111 = 123456787654321

111111111 x 111111111 = 12345678987654321

Jika kita lihat pola-pola tersebut, kita bisa melihat keunikan dan keindahan dari matematika. Pola yang telah diatur  sedemikian rupa oleh Yang Maha Pencipta, sehingga menghasilkan deretan bilangan yang sangat menakjubkan. Selain itu, bisa dibilang bahwa matematika adalah suatu kebenaran. Kenapa? Karena nilai yang dihasilkannya adalah mutlak. Mutlak kebenarannya. Tidak bisa berdasarkan opini sembarangan karena telah memiliki aturan-aturan tertentu dalam pengambilan suatu kesimpulan. Tidak ada nada yang menyangkal hasilnya.

Jadi, sudah tertarikkah Anda pada matematika?

Yang perlu kita ketahui selanjutnya tentang matematika adalah logika dan  pandangan yang luas. Maksudnya adalah kita harus memandang permasalahan matematika dalam berbagai cara. Karena dalam penyelesaiannya diperlukan beberapa pertimbangan dari teorema dan aksioma yang telah ada. Tidak hanya berpikiran dalam satu cara, tetapi berpikir secara spesifik sekaligus universal. Selain itu, bentuk matematika sendiri yang begitu khas dengan kekakuannya, merupakan salah satu penyebab dari kurang diminatinya matematika itu sendiri.

Banyak orang yang memahami suatu teorema atau aksioma dalam satu sudut pandang saja. Sehingga mempersulit pencapaian menuju hasil akhir. Padahal sudah seharusnyalah teorema dan aksioma dipandang sebagai koin yang memiliki dua buah sisi yang berbeda tetapi merupakan satu kesatuan. Mari kita lihat contoh berikut :

Mempertanyakan Kebenaran Rumus Pasti Matematika Apakah benar 1 = 1?
a²  =   a²
a²  -  a²  =  a²  - a²  >> dua2nya ditambah -a²  supaya sama hasilnya (rumus standar dalam matematika)
a (a – a )  = ( a + a )( a – a )  ingat rumus  a²  -  b²  =  (a – b )(a + b)
a (a- a ) = ( a + a )( a – a ) 
a = a + a
a =  2 a
1 = 2 (1)
jadi….
1 = 2  ( Bagaimana bisa? )

Jawaban :

Bagaimana? Sudahkah anda membaca soal matematika yang aneh itu? Atau anda menemukan kesimpulan aneh dari “cara pengerjaan” nya?  Sudahkah anda menemukan kesalahannya?

Letak kesalahannya adalah kita tidak boleh dengan seenaknya mengkenselasi (X-X) di sisi kiri dan sisi kanan. Kenapa?

Apabila kita amati dan cermati,( X-X) = 0

Berarti  sisi kiri dan kanan adalah
X(0) = (0)(X+X)

0 = 0, kalau kita pindah angka 0 yang di kanan ke kiri. Menjadi:
0/0 = 1, benarkah?

Tentu saja salah!

0 dibagi dengan 0 itu bilangan tak tentu. Jadi bukan hanya 1. Tapi bisa -…, -2, -1, 0, 1, 2, …,

Bukankah semua bilangan kalau dikalikan 0 akan sama dengan 0?

Jadi, kesalahan contoh kasus di atas adalah, pelanggaran dalam aturan kenselasi bilangan.

Sangat indah dan unik bukan matematika tersebut? Dengan segala keanehannya yang sesungguhnya indah. Keindahan yang berasal dari Allah, Sang Khalik. Tentunya masih banyak hal-hal menarik dalam matematika. Mari kita ubah pemikiran tentang matematika dengan menyelami hal-hal menarik yang terdapat di dalamnya.

Posted by Dede Salim nahdi

On 06.22

No comments

SEJARAH ANGKA NOL

Al-Khawarizmi dikenal sebagai bapak Aljabar memperkenalkan bilangan nol (0), dan penerjemah karya-karya Yunani kuno. Kisah angka nol Konsep bilangan nol telah berkembang sejak zaman Babilonia danYunani kuno, yang pada saat itu diartikan sebagai ketiadaan dari sesuatu. Konsep bilangan nol dan sifat-sifatnya terus berkembang dari waktu ke waktu. Hingga pada abad ke-7, Brahmagupta seorang matematikawan India memperkenalkan beberapa sifat bilangan nol. Sifat-sifatnya adalah suatu bilangan bila dijumlahkan dengan nol adalah tetap, demikian pula sebuah bilangan bila dikalikan dengan nol akan menjadi nol. Tetapi, Brahmagupta menemui kesulitan, dan cenderung ke arah yang salah, ketika berhadapan dengan pembagian oleh bilangan no,l “sebuah bilangan dibagi oleh nol adalah tetap”. Tentu saja ini suatu kesalahan fatal. Tetapi, hal ini tetap harus sangat dihargai untuk ukuran saat itu.

Ide-ide brilian dari matematikawan India selanjutnya dipelajari oleh matematikawan Muslim dan Arab. Hal ini terjadi pada tahap-tahap awal ketika matematikawan Al-Khawarizmi meneliti sistem perhitungan Hindu (India) yang menggambarkan sistem nilai tempat dari bilangan yang melibatkan bilangan 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Al-Khawarizmi adalah yang pertama kali memperkenalkan penggunaan bilangan nol sebagai nilai tempat dalam basis sepuluh. Sistem ini disebut sebagai sistem bilangan decimal.Selain itu Al Khawarizmi merupakan penulis kitab aljabar (matematika) pertama di muka bumi. Beliau juga seorang ilmuan jenius pada masa keemasan Baghdad yang sangat besar sumbangsihnya terhadap ilmu aljabar dan aritmetika. Karyanya, Kitab Aljabr Wal Muqabalah (Pengutuhan Kembali dan Pembandingan) merupakan pertama kalinya dalam sejarah dimana istilah aljabar muncul dalam kontesk disiplin ilmu. Nama aljabar diambil dari bukunya yang terkenal tersebut. Karangan itu sangat populer di negara-negara barat dan diterjemahkan dari bahasa Arab ke bahasa Latin dan Italia. Bahasan yang banyak dinukil oleh ilmuwan barat dari karangan Al-Khawarizmi adalah tentang persamaan kuadrat. Sumbangan Al-Khwarizmi dalam ilmu ukur sudut juga luar biasa. Tabel ilmu ukur sudutnya yang berhubungan dengan fungsi sinus dan garis singgung tangen telah membantu para ahli Eropa memahami lebih jauh tentang ilmu ini. Ia mengembangkan tabel rincian trigonometri yang memuat fungsi sinus, kosinus dan kotangen serta konsep diferensiasi.

Karya-karya al-Khawarizmi di bidang matematika sebenarnya banyak mengacu pada tulisan mengenai aljabar yang disusun oleh Diophantus (250 SM) dari Yunani. Namun, dalam meneliti buku-buku aljabar tersebut, al-Khawarizmi menemukan beberapa kesalahan dan permasalahan yang masih kabur. Kesalahan dan permasalahan itu diperbaiki, dijelaskan, dan dikembangkan oleh al-Khawarizmi dalam karya-karya aljabarnya. Oleh sebab itu, tidaklah mengherankan apabila ia dijuluki ”Bapak Aljabar.”Di bidang ilmu ukur, al-Khawarizmi juga dikenal sebagai peletak rumus ilmu ukur dan penyusun daftar logaritma serta hitungan desimal. Namun, beberapa sarjana matematika Barat, seperti John Napier (1550–1617) dan Simon Stevin (1548–1620), menganggap penemuan itu merupakan hasil pemikiran mereka. Selain matematika, Al-Khawarizmi juga dikenal sebagai astronom. Di bawah Khalifah Ma’mun, sebuah tim astronom yang dipimpinnya berhasil menentukan ukuran dan bentuk bundaran bumi. Penelitian itu dilakukan di Sanjar dan Palmyra. Hasilnya hanya selisih 2,877 kaki dari ukuran garis tengah bumi yang sebenarnya. Sebuah perhitungan luar biasa yang dapat dilakukan pada saat itu. Al-Khawarizmi juga menyusun buku tentang penghitungan waktu berdasarkan bayang-bayang matahari.

Setelah al-Khawarizmi meninggal, keberadaan karyanya beralih kepada komunitas Islam. Yaitu, bagaimana cara menjabarkan bilangan dalam sebuah metode perhitungan, termasuk dalam bilangan pecahan; suatu penghitungan Aljabar yang merupakan warisan untuk menyelesaikan persoalan perhitungan dan rumusan yang lebih akurat dari yang pernah ada sebelumnya. Di dunia Barat, Ilmu Matematika lebih banyak dipengaruhi oleh karya al-Khawarizmi dibanding karya para penulis pada Abad Pertengahan. Masyarakat modern saat ini berutang budi kepada al-Khawarizmi dalam hal penggunaan bilangan Arab. Notasi penempatan bilangan dengan basis 10, penggunaan bilangan irasional dan diperkenalkannya konsep Aljabar modern, membuatnya layak menjadi figur penting dalam bidang Matematika dan revolusi perhitungan di Abad Pertengahan di daratan Eropa. Dengan penyatuan Matematika Yunani, Hindu dan mungkin Babilonia, teks Aljabar merupakan salah satu karya Islam di dunia Internasional.

Implikasi:

Berkat penemuan angka nol, maka dunia matematika dijaman sekarang semakin maju, misalnya dengan ditemokan berbagai rumus seperti rumus sinus, cosinu, tangent ataupun rumus trigonometi. Selain dalam dunia matematika penemuan angka nol ternyata sangat mempengaruhi dunia tegnologi khususnya computer/ digital yaitu ditemukannya gerbang logika dan kode ASCII.

Gerbang logika atau sering juga disebut gerbang logika Boolean merupakan sebuah sistem pemrosesan dasar yang dapat memproses input-input yang berupa bilangan biner menjadi sebuah output yang berkondisi yang akhirnya digunakan untuk proses selanjutnya. Gerbang logika dapat mengkondisikan input – input yang masuk kemudian menjadikannya sebuah output yang sesuai dengan apa yang ditentukan olehnya. Terdapat tiga gerbang logika dasar, yaitu : gerbang AND, gerbang OR, gerbang NOT. Ketiga gerbang ini menghasilkan empat gerbang berikutnya, yaitu : gerbang NAND, gerbang NOR, gerbang XOR, gerbang XAND.

Rangkaian aritmatika dasar termasuk kedalam rangkaian kombinasional yaitu suatu rangkaian yang outputnya tidak tergantung pada kondisi output sebelumnya, hanya tergantung pada present state dari input. Dari gerbang logika tersebut bisa dikembangkan menjadi berbagai macam tegnologi mulai dari teknologi sederhana seperti stopwatch, jam, hingga dunia internet, satelit, pesawat terbang, dan sebagainya. Semua itu tidak akan luput dari peran serta gerbang-gerbang logika ini.

Angka nol juga berperan dalam ditemukannyan kode ASCII, yaitu kode Standar Amerika untuk Pertukaran Informasi atau ASCII (American Standard Code for Information Interchange) merupakan suatu standar internasional dalam kode huruf dan simbol seperti Hex dan Unicode tetapi ASCII lebih bersifat universal, contohnya 124 adalah untuk karakter “|”. Ia selalu digunakan oleh komputer dan alat komunikasi lain untuk menunjukkan teks. Kode ASCII sebenarnya memiliki komposisi bilangan biner sebanyak 8 bit. Dimulai dari 0000 0000 hingga 1111 1111. Total kombinasi yang dihasilkan sebanyak 256, dimulai dari kode 0 hingga 255 dalam sistem bilangan Desimal.

(ASCII)American Standard Code for Internation Interchange. Biasanya disingkat dengan ASCII. Suatu kode skema yang menggunakan 7 atau 8 bit, yang memberikan lambang sebanyak 256 jenis karakter. Di dalam karakter-karakter ini, telah termasuk di dalamnya huruf, angka, lambang-lambang khusus, kode kontrol perintah, serta kode lainnya. ASCII ini didevelop pada tahun 1968, yang merupakan standar untuk transmisi data antara software dan hardware. ASCII ini digunakan dalam dikebanyakan komputer mini, dan di seluruh komputer pribadi. Standar yang berlaku di seluruh dunia untuk kode berupa angka yang merepresentasikan karakter-karakter, baik huruf, angka, maupun simbol yang digunakan oleh komputer. Terdapat 128 karakter standar ASCII yang masing-masing direpresentasikan oleh tujuh digit bilangan biner mulai dari 0000000 hingga 1111111.

format yang banyak digunakan untuk file teks di dalam dunia komputer dan internet. Di dalam file ASCII, masing-masing alphabetic, numeric, atau karakter khusus direpresentasikan dalam 7-bit bilangan biner (kumpulan dari nol atau satu sebanyak tujuh angka). Karakter dalam kode ASCII dibagi dalam beberapa group yaitu : control character, angka, huruf besar, huruf kecil, dan tanda baca (pada tabel tidak begitu jelas). Control-character ini sering disebut sebagai non-printable-character, yaitu karakter yang dikirim sebagai tahap awal (pengenalan) dalam berbagai kegunaan komunikasi data, misalnya sebelum informasi dikirim dari PC ke printer.

Dengan kumpulan bit ini terdapat sebanyak 128 character yang bisa didefinisikan. Sistem operasi berbasis Unix dan DOS menggunakan ASCII untuk file teks, sedangkan Windows NT dan 2000 menggunakan kode yang lebih baru yang dikenal dengan istilah unicode. Sistem yang dikeluarkan oleh IBM menggunakan data yang dibentuk dari 8 bit, yang disebut dengan EBCDIC.

Posted by Dede Salim nahdi

On 22.35

No comments

PEMBUKTIAN RUMUS LUAS TRAPESIUM

Trapesium adalah suatu bangun dua dimensi segi empat yang mempunyai dua sisi yang sejajar namun panjangnya tidak sama.

Trapesium yang sisi ketiganya memiliki sudut 90 derajat terhadap sisi yang sejajar disebut trapesium siku-siku.

Rumus luas trapesium mungkin sudah sangat dikenal, apalagi bagi seorang pelajar. Karena memang rumus bidang datar ini telah diperkenalkan sejak SD. Akan tetapi mungkin hanya sedikit orang yang mengetahui asal mula munculnya rumus ini.

Berikut ini dijabarkan pembuktian bahwa rumus luas trapesium adalah

L = 0,5 x jumlah sisi sejajar x tinggi

Perhatikan gambar bangun trapesium di atas
b = x + a + y ...........................(1)
L₁ = 0,5 xt ..............................(2)
L₂ = at ....................................(3)
L₁ = 0,5yt ...............................(4)

L_trapesium = L₁ + L₂ + L₃
                = 0,5 xt + at + 0,5 yt
                = (0,5x + a + 0,5y)t
                = 0,5(x + 2a + y)t
                = 0,5(a + x + a + y)t

Dengan mensubstitusi persamaan (1) maka diperoleh
L_trapesium = 0,5(a + b) t
                 = 0,5 x jumlah sisi sejajar x tinggi

Posted by Dede Salim nahdi

On 07.45

No comments

1 ADALAH BILANGAN PRIMA ?

1 itu termasuk bilangan prima bukan ya?

Bagi sebagian orang mungkin masih kebingungan ketika muncul pertanyaan di atas. Banyak yang mendefinisikan bahwa bilangan prima adalah bilangan yang hanya bisa dibagi dengan habis oleh bilangan itu sendiri. Sehingga jika dihubungkan dengan definisi bilangan prima di atas maka tentu bilangan 1 sesuai dengan definisi tersebut. Karena 1 memang hanya bisa bisa dibagi secara habis dengan bilangan 1 lagi. Tapi benarkan definisi bilangan prima tersebut.

 Setelah mempelajari beberapa literatur, akhirnya didapat sebuah definisi yang tepat tentang apa itu bilangan prima. Bilangan prima didefinisikan sebagai bilangan asli yang hanya mempunyai 2 faktor, yaitu 1 dan bilangan itu sendiri.

So, bilangan 1 mempunyai berapa faktor?
Ternyata bilangan 1 hanya memiliki 1 faktor yaitu 1. Dengan demikian bilangan 1 sudah keluar dari konsep bilangan prima yang tepat memiliki 2 faktor. atau dengan kata lain 1 bukanlah bilangan prima.

Posted by Dede Salim nahdi

On 21.08

No comments

FAKTA UNIK NAMA BILANGAN DALAM BAHASA INDONESIA

Setiap negara bangsa, negara dan daerah pasti memiliki penyebutan sendiri untuk angka-angka dari satu, dua sampai dengan sepuluh. Misalnya angka tiga kita menyebutnya di Indonesia tapi di negara lain ada yang menyebutnya tri, three, san, tolu dan lain sebagainya.

Bahkan bila ada yang masih ingat angka-angka tersebut dalam bahasa daerah teman-teman masing-masing dari satu sampai sepuluh maka kadang ada angka yang penyebutannya sama dan ada pula yang berbeda dengan Bahasa Indonesia. Mungkin tergantung dari enaknya di lidah atau di telinga.

Langsung saja. Di sini saya bukan mengajarkan Anda berhitung tapi coba perhatikan deretan angka-angka di bawah ini.

1 = Satu
2 = Dua
3 = Tiga
4 = Empat
5 = Lima
6 = Enam
7 = Tujuh
8 = Delapan
9 = Sembilan

Ternyata setiap bilangan mempunyai saudara ditandai dengan huruf awal yang sama. Bila kedua saudara ini dijumlahkan angkanya, maka hasilnya pasti sepuluh. Contohnya Satu dan Sembilan.. Mempunyai huruf awal yaitu S dan bila diumlahkan satu dan sembilan hasilnya adalah sepuluh.

Begitu juga dengan Dua dan Delapan, Tiga dan Tujuh kemudian Empat dan Enam. Terurut sampai dengan angka Lima. Lima dijumlah dengan dirinya sendiri juga hasilnya sepuluh.

Tidak sampai disitu, ternyata huruf awalnya juga punya peranan penting terbentuknya bilangan itu. Misalnya Satu dan Sembilan sama-sama huruf awalnya adalah S yang secara kebetulan berada pada urutan 19 dalam alpabet. Bila angka satu dan sembilan dijumlahkan kemudian dibagi dua untuk mencari rata-ratanya maka hasilnya adalah 5. Bentuk angka 5 sangat identik dengan huruf S.

Kemudian Dua dan Delapan. Huruf awalnya adalah D yang urutan keempat. Bila delapan dibagi dua maka hasilnya adalah empat (pembenaran).

Selanjutnya Empat dan Enam. Huruf awalnya adalah E yang urutan kelima. Lima berada diantara Empat dan Enam (pembenaran lagi).

Sedangkan angka Lima huruf awalnya adalah L. Dimana L digunakan untuk simbol angka lima puluh dalam perhitungan Romawi (pembenaran yang masih nyambung).

Lalu bagaimana dengan Tiga dan Tujuh? Ternyata susah cari pembenarannya. Ditambah, dikurang, dibagi dan dikali ternyata belum juga ketemu. Tiga dikali tujuh hasilnya 21, kurang satu angka dengan huruf T yang urutan ke 20. Tapi simbol V digunakan untuk menunjukkan angka tujuh dalam perhitungan Arabic. Dan V diurutan ke-22.

Ternyata, tidak pake matematika. Cukup ditulis saja dikertas kosong kemudian pasti bisa ketemu hubungannya. Coba tulis huruf T kecil (t) di sebuah kertas. Kemudian putar kertasnya 180 derajat maka kamu bisa lihat angka tujuh dengan jelas. Lalu bagaimana dengan angka tiga? Juga sama. Tulis huruf T besar di kertas pake font Times New Roman kemudian putar 90 derajat ke kanan searah jarum jam. Tada…. Kamu pasti bisa lihat angka tiga dengan jelas. Tapi sedikit mancung. (pembenaran yang juga dipakasakan sekali).

Pola unik ini mungkin hanya bisa ditemukan di Indonesia. Lalu bagaimana dengan di Malaysia yang juga memakai bahasa yang sama? Ternyata di Malaysia angka 8 tidak disebut sebagai Delapan tapi Lapan. Jadi pola ini hanya milik Indonesia. Jangan sampai diklaim juga sama mereka.

Posted by Dede Salim nahdi

On 17.10

No comments